スピードを上げるとハンドル・車体が震える

あるスピードになるとハンドルが震えるのは、ホイールバランスの狂いが原因であると考えられます。
前輪タイヤのバランスが狂うとハンドルに振動が伝わり、一方後輪タイヤのバランスが狂うと車全体に振動が伝わります。
このような場合には、タイヤショップなどでバランスを取り直してもらうといいです。
走り始めのゴトゴトという振動は、車の重みでタイヤの一部がへこむためで、そのまま走ると元に戻ります。